Parábola

Parábola

Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.
Desarrollo
Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:
a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.
d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:

(x – h)2 = –4p (y – k)

De las coordenadas del vértice se obtiene:

h = –4

k = 2

Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:

p = 5 – 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:

(x – h)² = –4p(y – k)

(x – (–4))² = –4 (3) (y – (+2))

(x + 4)² = –12(y – 2)

(x + 4)² = –12y + 24

Desarrollando el binomio al cuadrado

(x + 4) (x + 4) = x² + 8x + 16

x² + 8x + 16 = +12y – 24

Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:

x² + 8x + 16 + 12y – 24 = 0

x² + 8x + 12y – 8 = 0

PARABOLA

PARABOLA

LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

En esta oportunidad daremos algunos conceptos básicos de la parábola pero nos centraremos en su construcción como lugar geométrico. Para ello elegimos un software de descarga gratuita: Regla y compás. Incluye al final un video explicativo. Si tienen dificultad para ver las imágenes, con un click sobre ellas permite ampliarlas.

PARÁBOLA. DEFINICIÓN

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada  directriz.

Algunos elementos de la parábola: 

• Foco: es el punto fijo F
• Directriz: es la recta fija d
• Parámetro: distancia del foco a la recta directriz
• Eje: recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco
• Vértice: punto de intersección de la parábola con su eje.
• Cuerda focal: segmento que une dos puntos de la parábola y pasa por su foco.
• Recta tangente al vértice.

CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA

¿dar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en la recta y=x+1 y que toca los puntos (1,4) y (5,2)?

Ecuación concentrica a la circunferencia y tangente a una recta

Ecuación concentrica a la circunferencia y tangente a una recta

Dos o más circunferncias son concéntricas si sus centros coinciden.

Las circunferencias concéntricas no tienen ningún punto en común.

Ejercicios

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación , y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

 

Ecuacion de la circunferencia conocido dos puntos y su recta una ecuación

Circunferencia que pasa por dos puntos y centro en la recta..?

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2;3) y (-1;1) y cuyo centro está situado en la recta: x-3y-11=0. Respuesta: x^2+y^2-7x+5y-14=0

Los puntos (2;3) y (-1;1) pertenecen a la circunferencia. Entonces, en la ecuación de la circunferencia, reemplazamos "x" e "y" por las coordenadas de cada punto.

(2 - h)² + (3 - k)² = r² . . . . . . . .➊

(-1 - h)² + (1 - k)² = r² . . . . . . . ➋

Igualamos ➊ y ➋, porque ambas equivalen a r²

(2 - h)² + (3 - k)² = (-1 - h)² + (1 - k)²

4 - 4h + h² + 9 - 6k + k² = 1 + 2h + h² + 1 - 2k + k²

13 - 4h - 6k = 2 + 2h - 2k

-4h - 6k - 2h + 2k = 2 - 13

-6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌


Por otra parte, el centro (h; k) está sobre la recta x - 3y - 11 = 0. Entonces el centro verifica esta ecuación,

h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍

Con ➌ y ➍ formamos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el centro.

-6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌
h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. De ➍, despejamos h ==> h = 3k + 11
Reemplazamos "h" en ➌

-6·(3k + 11) - 4k = -11

-18k - 66 - 4k = -11

-22k = -11 + 66

k = 55/(-22)

k = -5/2

Luego, h = 3k + 11 = 3·(-5/2) + 11 = 7/2

El centro es C(7/2, -5/2)


Calculamos r², reemplazando "h" y "k" en ➊

(2 - 7/2)² + (3 - (-5/2))² = r²

9/4 + 121/4 = r²

65/2 = r²


Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

(x - 7/2)² + (y - (-5/2))² = 65/2

(x -7/2)² + (y + 5/2)² = 65/2

Desarrollamos los binomios para obtener la ecuación general.

x² - 7x + 49/4 + y² + 5y + 25/4 - 65/2 = 0

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x² + y² - 7x + 5y -14 = 0 ◄ RESPUESTA
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Ecuación de la circunferencia conociendo dos puntos

Ecuación de la circunferencia conociendo dos puntos

Ecuación de la circunferencia

Considérese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:

 

d(X, O) = r, es decir:

 

 

                                           (x - a)² + (y - b)² = r²                                 

 

Desarrollando los cuadrados se tiene:

 

x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²

 

x² + y² -2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

 

Llamando A = -2a, B = -2b y C = a² + b² - r², se tiene:

 

                                      x² + y² + Ax + By + C = 0

 

Ejercicio: cálculo de la ecuación de una circunferencia

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 Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

 

Resolución:

· La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es

 

 

· Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:

 

                   

   

Ecuacion de la circunferencia

Ecuacion de la circunferencia

Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será
(x ─ a)²  +  (y ─ b)² = r² donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2)²  +  (y ─ ─ 3)²  = 5²
(x ─ 2)²  +  (y + 3)²  = 5²
(x ─ 2)²  +  (y + 3)²  = 25
Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)²  +  (y ─ k)²
 
Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2)²  +  (y + 3)²  = 25