Ecuacion de la circunferencia conocido dos puntos y su recta una ecuación

Circunferencia que pasa por dos puntos y centro en la recta..?

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2;3) y (-1;1) y cuyo centro está situado en la recta: x-3y-11=0. Respuesta: x^2+y^2-7x+5y-14=0

Los puntos (2;3) y (-1;1) pertenecen a la circunferencia. Entonces, en la ecuación de la circunferencia, reemplazamos "x" e "y" por las coordenadas de cada punto.

(2 - h)² + (3 - k)² = r² . . . . . . . .➊

(-1 - h)² + (1 - k)² = r² . . . . . . . ➋

Igualamos ➊ y ➋, porque ambas equivalen a r²

(2 - h)² + (3 - k)² = (-1 - h)² + (1 - k)²

4 - 4h + h² + 9 - 6k + k² = 1 + 2h + h² + 1 - 2k + k²

13 - 4h - 6k = 2 + 2h - 2k

-4h - 6k - 2h + 2k = 2 - 13

-6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌


Por otra parte, el centro (h; k) está sobre la recta x - 3y - 11 = 0. Entonces el centro verifica esta ecuación,

h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍

Con ➌ y ➍ formamos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el centro.

-6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌
h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. De ➍, despejamos h ==> h = 3k + 11
Reemplazamos "h" en ➌

-6·(3k + 11) - 4k = -11

-18k - 66 - 4k = -11

-22k = -11 + 66

k = 55/(-22)

k = -5/2

Luego, h = 3k + 11 = 3·(-5/2) + 11 = 7/2

El centro es C(7/2, -5/2)


Calculamos r², reemplazando "h" y "k" en ➊

(2 - 7/2)² + (3 - (-5/2))² = r²

9/4 + 121/4 = r²

65/2 = r²


Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

(x - 7/2)² + (y - (-5/2))² = 65/2

(x -7/2)² + (y + 5/2)² = 65/2

Desarrollamos los binomios para obtener la ecuación general.

x² - 7x + 49/4 + y² + 5y + 25/4 - 65/2 = 0

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x² + y² - 7x + 5y -14 = 0 ◄ RESPUESTA
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