Ecuacion de la circunferencia conocido dos puntos y su recta una ecuación

Circunferencia que pasa por dos puntos y centro en la recta..?

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2;3) y (-1;1) y cuyo centro está situado en la recta: x-3y-11=0. Respuesta: x^2+y^2-7x+5y-14=0

Los puntos (2;3) y (-1;1) pertenecen a la circunferencia. Entonces, en la ecuación de la circunferencia, reemplazamos "x" e "y" por las coordenadas de cada punto.

(2 - h)² + (3 - k)² = r² . . . . . . . .➊

(-1 - h)² + (1 - k)² = r² . . . . . . . ➋

Igualamos ➊ y ➋, porque ambas equivalen a r²

(2 - h)² + (3 - k)² = (-1 - h)² + (1 - k)²

4 - 4h + h² + 9 - 6k + k² = 1 + 2h + h² + 1 - 2k + k²

13 - 4h - 6k = 2 + 2h - 2k

-4h - 6k - 2h + 2k = 2 - 13

-6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌


Por otra parte, el centro (h; k) está sobre la recta x - 3y - 11 = 0. Entonces el centro verifica esta ecuación,

h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍

Con ➌ y ➍ formamos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el centro.

-6h - 4k = -11 . . . . . . . . . . ➌
h - 3k - 11 = 0 . . . . . . . . . ➍

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. De ➍, despejamos h ==> h = 3k + 11
Reemplazamos "h" en ➌

-6·(3k + 11) - 4k = -11

-18k - 66 - 4k = -11

-22k = -11 + 66

k = 55/(-22)

k = -5/2

Luego, h = 3k + 11 = 3·(-5/2) + 11 = 7/2

El centro es C(7/2, -5/2)


Calculamos r², reemplazando "h" y "k" en ➊

(2 - 7/2)² + (3 - (-5/2))² = r²

9/4 + 121/4 = r²

65/2 = r²


Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

(x - 7/2)² + (y - (-5/2))² = 65/2

(x -7/2)² + (y + 5/2)² = 65/2

Desarrollamos los binomios para obtener la ecuación general.

x² - 7x + 49/4 + y² + 5y + 25/4 - 65/2 = 0

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x² + y² - 7x + 5y -14 = 0 ◄ RESPUESTA
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Ecuación de la circunferencia conociendo dos puntos

Ecuación de la circunferencia conociendo dos puntos

Ecuación de la circunferencia

Considérese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:

 

d(X, O) = r, es decir:

 

 

                                           (x - a)² + (y - b)² = r²                                 

 

Desarrollando los cuadrados se tiene:

 

x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²

 

x² + y² -2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

 

Llamando A = -2a, B = -2b y C = a² + b² - r², se tiene:

 

                                      x² + y² + Ax + By + C = 0

 

Ejercicio: cálculo de la ecuación de una circunferencia

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 Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

 

Resolución:

· La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es

 

 

· Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:

 

                   

   

Ecuacion de la circunferencia

Ecuacion de la circunferencia

Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será
(x ─ a)²  +  (y ─ b)² = r² donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2)²  +  (y ─ ─ 3)²  = 5²
(x ─ 2)²  +  (y + 3)²  = 5²
(x ─ 2)²  +  (y + 3)²  = 25
Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)²  +  (y ─ k)²
 
Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2)²  +  (y + 3)²  = 25