FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

La función exponencial de base e, ¹ es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

FUNCION EXPONENCIAL

FUNCION EXPONENCIAL

Definición de función exponencial

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = a^x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

 

 

FUNCION INVERSA

FUNCION INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

 

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

FUNCIONES SOBREYECTIVA Y FUNCION BIYECTIVA

FUNCIONES SOBREYECTIVA 

si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de es la imagen de como mínimo un elemento de .

Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que .

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Formalmente, dada una función

FUNCIÓN INYECTIVA

FUNCIÓN INYECTIVA

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO A: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x	–2	–1	0	1	2
f(x)	2	–1	–2	–1	2

EJEMPLO B: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x	–2	–1	0	1	2
g(x)	9	2	1	0	–7

                                       TRASLACIONES DE FUNCIONES

Utilizar la gráfica de f(x)=x² para bosquejar la gráfica de y = f(x-2) y y = f(x+4). 

Solución:

La gráfica de f(x)=x2 se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).   La gráfica de y =f(x-2) es la gráfica modelo desplazada dos unidades hacia la derecha. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos puntos se obtienen sumando 2 a las x. Los nuevos puntos son; (1, 1), (2, 0) y (3, 1).    La gráfica y= f(x+4) es la gráfica de la función modelo desplazada cuatro unidades hacia la izquierda. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos puntos desplazados se obtienen restando cuatro a las x. Los nuevos puntos son; (-5, 1), (-4, 0) y (-3, 1)